ЕГЭ по математике, профильный уровень. Задачи на оптимальный выбор

 
Условие:
 
В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда.
Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?
 
Решение
 
Рассмотрим условия для первой области.
 
Поскольку алюминий и никель по условию задачи взаимозаменяемы, а рабочие первой области одинаково эффективно добывают и алюминий, и никель, они могут добывать любой из металлов без снижения показателей эффективности.
 
За сутки ими будет добыто 160 · 5 · 0,1 = 80 кг металла. Это может быть один из металлов, а может быть два металла, но именно в этом количестве.
 
Рассмотрим условия для второй области.
 
Пусть во второй области алюминий добывают t рабочих, а никель — 160 − t рабочих. Тогда за сутки они добудут следующее количество:
 
 
Найдем наибольшее значение функции:
 
 
Проведем анализ. Для натуральных t, не больших 160, имеем:
 
 
Найдем нули производной:
 
 
Получается, что при меньших 80 производная положительна, а при t больших 80 производная отрицательна, поэтому в точке t = 80 функция достигает максимума:  fmax=40, равного наибольшему значению функции на исследуемом промежутке.
 
Делаем вывод, что 80 рабочих второй области следует направить на добычу алюминия и 80 — на добычу никеля. Они добудут 40 кг металла. Совместно рабочие первой и второй области добудут 120 кг металла.
 
Ответ: 120 кг.
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
9
Образование:
Орский государственный педагогический институт им. Т. Г. Шевченко, физико-математический факультет
Проведенных занятий:
59
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
17
Образование:
Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина
Проведенных занятий:
204
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
6
Образование:
Тираспольский государственный университет
Проведенных занятий:
299
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
Специализации