Задача по планиметрии

Условие:
 
Окружность с центром О1 касается оснований ВС и AD и боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром O2 касается сторон ВС, CD и AD. Известно, что АВ = 10, ВС = 9, CD = 30, AD = 39.
 
а) Докажите, что прямая О1О2 параллельна основаниям трапеции АВСD.
б) Найдите О1О2.
 
Решение
 
а) Построим чертеж, согласно условию задачи (Рис.1). Из рисунка видно, что, согласно построению, точка О1 как центр окружности  будет равноудалена от прямых AD и ВС на расстояние, равное радиусу. А это значит, что точка О1 лежит на средней линии трапеции АВСD. Точно так же, точка О2 лежит на средней линии трапеции АВСD. Так как эти точки принадлежат средней линии трапеции, то прямая О1О2 будет параллельна основаниям трапеции АВСD. Что и требовалось доказать.
 
 
 
б) Введем дополнительные обозначения.
 
Пусть точка К — середина стороны АВ, а точка L — середина стороны CD.
 
Точка О1 равноудалена от прямых АВВС и AD на расстояние радиуса, поэтому лучи АО1 и ВО1 являются биссектрисами углов DAB и ABC соответственно. Поэтому,
 
 
то есть, получается, что: 
 
Так как точка К является серединой отрезка АВ, то отрезок КО1 является медианой, проведенной к гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АО1В.
 
Аналогично треугольник СО2D тоже прямоугольный, а отрезок LO2 является медианой, проведенной к его гипотенузе CD. Соответственно, точки КО1О2 и L лежат на средней линии трапеции АВСD. Значит, мы можем записать и вычислить:
 
 
Ответ: 4.
 
 
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
5
Образование:
Российский университет дружбы народов
Проведенных занятий:
484
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-9 классов. Подбираю метод работы, отталкиваясь от уровня ученика, говорю с ним на "одном" языке, объясняю сложные вещи на простых примерах. Имею опыт работы по учебникам Школа России, Школа 21 век. Готовлю учеников по программе Петерсона, готовлю к олимпиадам. Самый главный принцип, которого я придерживаюсь - это индивидуальный подход к ребенку. Занятия провожу в легкой и непринужденной обстановке.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
23
Образование:
Самаркандский Государственный университет
Проведенных занятий:
478
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по русскому языку и литературе. Обучаю учеников 5-11 классов. Готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ, а также к олимпиадам по русскому языку. При обучении русскому языку стараюсь найти индивидуальный подход. Перед собой ставлю задачу найти пробелы в знаниях учеников и устранить их. Уроки строю только на позитиве.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
1
Образование:
Белорусский государственный университет
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике для 4-9 классов. Математика закладывает навыки эффективного обучения чему угодно. Благодаря математике мы начинаем анализировать и мыслить. Такую привычку проще всего привить ребёнку, где это поможет ему преуспеть в школе и в последующих жизненных ситуациях. Если вы готовы дать такие навыки своему ребёнку, то я смогу помочь ему в изучении школьного материала и устраню пробелы в знаниях. К каждому ученику свой подход, а также план работы, в зависимости от уровня знаний.