img

Задача по планиметрии

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

Условие:
 
Окружность с центром О1 касается оснований ВС и AD и боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром O2 касается сторон ВС, CD и AD. Известно, что АВ = 10, ВС = 9, CD = 30, AD = 39.
 
а) Докажите, что прямая О1О2 параллельна основаниям трапеции АВСD.
б) Найдите О1О2.
 
Решение
 
а) Построим чертеж, согласно условию задачи (Рис.1). Из рисунка видно, что, согласно построению, точка О1 как центр окружности  будет равноудалена от прямых AD и ВС на расстояние, равное радиусу. А это значит, что точка О1 лежит на средней линии трапеции АВСD. Точно так же, точка О2 лежит на средней линии трапеции АВСD. Так как эти точки принадлежат средней линии трапеции, то прямая О1О2 будет параллельна основаниям трапеции АВСD. Что и требовалось доказать.
 
 
 
б) Введем дополнительные обозначения.
 
Пусть точка К — середина стороны АВ, а точка L — середина стороны CD.
 
Точка О1 равноудалена от прямых АВВС и AD на расстояние радиуса, поэтому лучи АО1 и ВО1 являются биссектрисами углов DAB и ABC соответственно. Поэтому,
 
 
то есть, получается, что: 
 
Так как точка К является серединой отрезка АВ, то отрезок КО1 является медианой, проведенной к гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АО1В.
 
Аналогично треугольник СО2D тоже прямоугольный, а отрезок LO2 является медианой, проведенной к его гипотенузе CD. Соответственно, точки КО1О2 и L лежат на средней линии трапеции АВСD. Значит, мы можем записать и вычислить:
 
 
Ответ: 4.
 
 
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
35
Образование:
Куйбышевский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
1626
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
2
Образование:
ООО Инфоурок
Проведенных занятий:
109
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
7
Образование:
Астраханский государственный педагогический университет
Проведенных занятий:
1636
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)