Задача по планиметрии

Условие:
 
Окружность с центром О1 касается оснований ВС и AD и боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром O2 касается сторон ВС, CD и AD. Известно, что АВ = 10, ВС = 9, CD = 30, AD = 39.
 
а) Докажите, что прямая О1О2 параллельна основаниям трапеции АВСD.
б) Найдите О1О2.
 
Решение
 
а) Построим чертеж, согласно условию задачи (Рис.1). Из рисунка видно, что, согласно построению, точка О1 как центр окружности  будет равноудалена от прямых AD и ВС на расстояние, равное радиусу. А это значит, что точка О1 лежит на средней линии трапеции АВСD. Точно так же, точка О2 лежит на средней линии трапеции АВСD. Так как эти точки принадлежат средней линии трапеции, то прямая О1О2 будет параллельна основаниям трапеции АВСD. Что и требовалось доказать.
 
 
 
б) Введем дополнительные обозначения.
 
Пусть точка К — середина стороны АВ, а точка L — середина стороны CD.
 
Точка О1 равноудалена от прямых АВВС и AD на расстояние радиуса, поэтому лучи АО1 и ВО1 являются биссектрисами углов DAB и ABC соответственно. Поэтому,
 
 
то есть, получается, что: 
 
Так как точка К является серединой отрезка АВ, то отрезок КО1 является медианой, проведенной к гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АО1В.
 
Аналогично треугольник СО2D тоже прямоугольный, а отрезок LO2 является медианой, проведенной к его гипотенузе CD. Соответственно, точки КО1О2 и L лежат на средней линии трапеции АВСD. Значит, мы можем записать и вычислить:
 
 
Ответ: 4.
 
 
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
29
Образование:
БГУ
Проведенных занятий:
5751
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-11 классов. Люблю математику и стараюсь привить эту любовь учащимся. Учу учащихся искать нестандартные решения, рассуждать, не бояться ошибок, делать выводы. Показываю связь математики с жизнью.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
16
Образование:
Нижнетагильский государственный социально-педагогический институт (филиал) ФГАОУ ВО
Проведенных занятий:
24
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике 7-11 класс, высшая математика. Помогу ликвидировать пробелы в знаниях, систематизировать знания, закрепить пройденные темы, повысить успеваемость, успешно подготовиться к тестам, контрольным, ВПР/ГВЭ/ОГЭ/ЕГЭ с желаемым результатом. Расскажу о математике просто и интересно. Для меня важно объяснить, что математика – не заумные формулы и теоремы, а интереснейшая наука, имеющая прикладное применение в повседневной жизни, развивающая логическое мышление, поражающая своей научной строгостью и красотой.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
5
Образование:
Брянский государственный технический университет
Проведенных занятий:
558
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по английскому языку 5-9 классов. Научу Вашего ребенка ПОНИМАТЬ английский язык. Благодаря моему обучению на Мальте, разработал свою методику преподавания. Со мной английский - это просто!