Задача по планиметрии

Условие:
 
Окружность с центром О1 касается оснований ВС и AD и боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром O2 касается сторон ВС, CD и AD. Известно, что АВ = 10, ВС = 9, CD = 30, AD = 39.
 
а) Докажите, что прямая О1О2 параллельна основаниям трапеции АВСD.
б) Найдите О1О2.
 
Решение
 
а) Построим чертеж, согласно условию задачи (Рис.1). Из рисунка видно, что, согласно построению, точка О1 как центр окружности  будет равноудалена от прямых AD и ВС на расстояние, равное радиусу. А это значит, что точка О1 лежит на средней линии трапеции АВСD. Точно так же, точка О2 лежит на средней линии трапеции АВСD. Так как эти точки принадлежат средней линии трапеции, то прямая О1О2 будет параллельна основаниям трапеции АВСD. Что и требовалось доказать.
 
 
 
б) Введем дополнительные обозначения.
 
Пусть точка К — середина стороны АВ, а точка L — середина стороны CD.
 
Точка О1 равноудалена от прямых АВВС и AD на расстояние радиуса, поэтому лучи АО1 и ВО1 являются биссектрисами углов DAB и ABC соответственно. Поэтому,
 
 
то есть, получается, что: 
 
Так как точка К является серединой отрезка АВ, то отрезок КО1 является медианой, проведенной к гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АО1В.
 
Аналогично треугольник СО2D тоже прямоугольный, а отрезок LO2 является медианой, проведенной к его гипотенузе CD. Соответственно, точки КО1О2 и L лежат на средней линии трапеции АВСD. Значит, мы можем записать и вычислить:
 
 
Ответ: 4.
 
 
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
11
Образование:
Уральский государственный университет им. А.М.Горького
Проведенных занятий:
18
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-11 классов по истории и обществознанию. Помогу систематизировать и закрепить знания по предметам, подготовить в ОГЭ и ЕГЭ. В работе использую методики интерактивного обучения. Создаю атмосферу доверительного общения и сотрудничества.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
4
Образование:
Гомельский государственный технический университет
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 6-11 классов. Обществознание важно изучать каждому человеку, ведь оно дает дает фундаментальные знания о жизни человека в обществе, принципах взаимодействия людей друг с другом, государством, а также о внутреннем мире человека. В своей работе я использую репродуктивный метод, метод проблемного изложения, а также внедряю на занятиях элементы исследования. Своей любимой методикой могу назвать "Перевернутый класс" или " Сингапурскую методику". Буду рад увидеть вас на моих занятиях. Я помогу вам освоить не только базовую школьную программу и подготовить к экзаменам, но и помогу освоить углубленные знания, которые пригодятся вам не только в ВУЗе или колледже, но и в обычной жизни.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
4
Образование:
Алтайский государственный педагогический университет
Проведенных занятий:
17
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-4 классов по математике и русскому языку. К каждому ученику нахожу индивидуальный подход, учитывая сильные и слабые стороны. Объясняю сложные темы простым языком, помогаю ученику найти несколько решений для одной задачи. Со мной Ваш ребёнок поймёт и полюбит математику и русский язык.

Курсы по математике для школьников (7 класс)

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Математика 10 класс

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Математика 10 класс

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие