Задача по планиметрии

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике ОГЭ по математике Подготовка к ОГЭ

Условие:

Окружность с центром О₁ касается оснований ВС и AD и боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром O₂ касается сторон ВС, CD и AD. Известно, что АВ = 10, ВС = 9, CD = 30, AD = 39.

а) Докажите, что прямая О₁О₂ параллельна основаниям трапеции АВСD.

б) Найдите О₁О₂.

Решение

а) Построим чертеж, согласно условию задачи (Рис.1). Из рисунка видно, что, согласно построению, точка О₁ как центр окружности будет равноудалена от прямых AD и ВС на расстояние, равное радиусу. А это значит, что точка О₁лежит на средней линии трапеции АВСD. Точно так же, точка О₂лежит на средней линии трапеции АВСD. Так как эти точки принадлежат средней линии трапеции, то прямая О₁О₂будет параллельна основаниям трапеции АВСD. Что и требовалось доказать.

б) Введем дополнительные обозначения.

Пусть точка К — середина стороны АВ, а точка L — середина стороны CD.

Точка О₁ равноудалена от прямых АВ, ВС и AD на расстояние радиуса, поэтому лучи АО₁ и ВО₁ являются биссектрисами углов DAB и ABC соответственно. Поэтому,

то есть, получается, что:

Так как точка К является серединой отрезка АВ, то отрезок КО₁ является медианой, проведенной к гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АО₁В.

Аналогично треугольник СО₂D тоже прямоугольный, а отрезок LO₂ является медианой, проведенной к его гипотенузе CD. Соответственно, точки К, О₁, О₂ и L лежат на средней линии трапеции АВСD. Значит, мы можем записать и вычислить: