Производная

Дифференциальное исчисление было изобретено Ньютоном и Лейбницем в конце \(17\) века. Это дало мощный толчок в развитии математических исследований. Дифференциальное исчисление радикально изменило математику, как в практических, так и в теоретических вопросах. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
В учебной программе по естественным наукам и технике дифференциальное исчисление образует мост между элементарной математикой, такой как геометрия, алгебра и тригонометрия, векторный анализ и сложные переменные. Сложные переменные выполняют другие обязанности, помимо простого представления своих элементов. Для начала изучения дифференциальное исчисления необходимо знать понятие функции, непрерывной функции и пределов, а также некоторое представление о природе математического доказательства. В ходе курса вы должны быть ознакомлены с теорией кривых, бесконечных рядов, степенных рядов, элементарных функций и других тем, в качестве примеров, к которым может быть применено исчисление.
Дифференциальное исчисление использует определение производной и свободно использует такие понятия, как дифференциал \(dx\), который отличается от конечной разности Δx. Производная может быть записана \(\frac{dy}{dx}\). Символ \(\frac{dy}{dx}\) используется двояко –  как цельный символ производной и как частное дифференциалов.
                                               Приращение функции                                           
В самом определении производной в точке подставим  на \(x:\)
 
\(f'(x_0)=\lim\limits_{Δx\to 0} \frac{f(x_o+Δx)-f(x_0)}{Δx}=\lim\limits_{Δx\to 0} \frac{Δy}{Δx};\)
\(f'(x)=\lim\limits_{Δx\to 0} \frac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx}=\lim\limits_{Δx\to 0} \frac{Δy}{Δx};\)
 
 
Итого функция определяется \(y=f(x)\) по закону:
 
\(\lim\limits_{Δx\to 0} \frac{f(x+Δx)}{Δx}\)
в соответствии другой функции \(y'=f'(x)\) , которая называется производной функцией или просто производной.
Выведены таблицы производных элементарных функций, включающие тригонометрические, гиперболические, логарифмические и экспоненциальные функции, которые надо выучить.
 
Производная константы всегда равна нулю, то есть производная любого числа равна \(0.\)

 
Пример 1. Производная \(2x^2=2*2x^{2-1} =4x\) или \(5x^3=5*3x^{3-1}=15x^2\) по правилу \((x^n)'=nx^{n-1}.\)
Производная \(ln(2x^2)'=\frac{1}{2x^2}*(2x^2)'=\frac{4x}{2x^2}=\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}\).

Пример 2. Вычислить производную \(5x^{\frac{3}{5}}.\). Решение:
 
\(y'=(5x^{\frac{3}{5}})'=5*\frac{3}{5}x^{\frac{3}{5}-1}=3x^{-\frac{2}{5}}\)
 
Ответ: \(3x^{-\frac{2}{5}}\).
Пример 2. Вычислить производную \(\frac{2x^3}{x^{\frac{1}{3}}}\). Решение:
 
\(y=\frac{2x^3}{x^{\frac{1}{3}}}=2x^{3-\frac{1}{3}}=2x^{\frac{8}{3}};\)
\(y(2x^{\frac{8}{3}})'=2*\frac{8}{3}x^{\frac{8}{3}-1}=\frac{16}{3}x^{\frac{5}{3}}\)
Ответ: \(\frac{16}{3}x^\frac{5}{3}\).
 
 
Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.
 
 
 
 
 
 
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
29
Образование:
Витебский государственный педагогический институт им. С.М. Кирова
Проведенных занятий:
803
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-8 классов. На своих уроках я применяю элементы современных образовательных технологий: здоровьесберегающие технологии, личностно-ориентированный подход, игровые технологии, технологии уровневых дифференциаций, проектное обучение, технологии проблемного обучения, также комбинирую несколько образовательных технологий в одном уроке. С радостью жду Вас на своих занятиях!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
5
Образование:
БГПУ им.Максима Танка
Проведенных занятий:
2791
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-7 классов. Математика - это чудесный мир логики и точности. Дорога в этот мир лежит через старания, внимательность и весёлые задания. Необычные решения и интерес помогут разобраться и полюбить эту науку!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
17
Образование:
Саратовский государственный педагогический университет
Проведенных занятий:
1398
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 4-11 классов. Имею большой опыт работы с детьми. Готовлю к ОГЭ и ЕГЭ. Повышаю успеваемость. Помогаю в подготовке домашнего задания. Доходчиво объясняю ребенку даже сложные вещи на примерах. Всегда нахожу общий язык с учениками. Математика развивает интеллект, тренирует память, учит считать. За это я и люблю математику!