Производная

Дифференциальное исчисление было изобретено Ньютоном и Лейбницем в конце \(17\) века. Это дало мощный толчок в развитии математических исследований. Дифференциальное исчисление радикально изменило математику, как в практических, так и в теоретических вопросах. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

В учебной программе по естественным наукам и технике дифференциальное исчисление образует мост между элементарной математикой, такой как геометрия, алгебра и тригонометрия, векторный анализ и сложные переменные. Сложные переменные выполняют другие обязанности, помимо простого представления своих элементов. Для начала изучения дифференциальное исчисления необходимо знать понятие функции, непрерывной функции и пределов, а также некоторое представление о природе математического доказательства. В ходе курса вы должны быть ознакомлены с теорией кривых, бесконечных рядов, степенных рядов, элементарных функций и других тем, в качестве примеров, к которым может быть применено исчисление.

Дифференциальное исчисление использует определение производной и свободно использует такие понятия, как дифференциал \(dx\), который отличается от конечной разности Δx. Производная может быть записана \(\frac{dy}{dx}\). Символ \(\frac{dy}{dx}\) используется двояко –  как цельный символ производной и как частное дифференциалов.

                                                                                          

В самом определении производной в точке подставим  на \(x:\)

 

 

 

Итого функция определяется \(y=f(x)\) по закону:

 

в соответствии другой функции \(y'=f'(x)\) , которая называется производной функцией или просто производной.

Выведены таблицы производных элементарных функций, включающие тригонометрические, гиперболические, логарифмические и экспоненциальные функции, которые надо выучить.

 

Производная константы всегда равна нулю, то есть производная любого числа равна \(0.\)

---

Пример 1. Производная \(2x^2=2*2x^{2-1} =4x\) или \(5x^3=5*3x^{3-1}=15x^2\) по правилу \((x^n)'=nx^{n-1}.\)

Производная \(ln(2x^2)'=\frac{1}{2x^2}*(2x^2)'=\frac{4x}{2x^2}=\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}\).

---

 

Ответ: \(3x^{-\frac{2}{5}}\).

Пример 2. Вычислить производную \(\frac{2x^3}{x^{\frac{1}{3}}}\). Решение:

 

Ответ: \(\frac{16}{3}x^\frac{5}{3}\).

 

Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.