Показательные уравнения

Как решать показательные уравнения?

Пример 1. Найдите \(x\) из \(8^{x-2}=\sqrt{8}\)

Решение:

\(8^{x-2}=8^2\)\(\)

\(x-2=\frac{1}{2}\)

\(x=\frac{5}{2}\)

Ответ: \(x=\frac{5}{2}\).

Пример 2. Найдите \(x\) из \(3^x=9^{x+5}\).

Решение:

\(3^x=9^{x+5}\)

\(3^x=\left(3^2\right)^{x+5}\)

\(x=2\left(x+5\right)\)

\(x=2x+10\)

\(x=-10\)

Ответ: \(x=-10\).

Пример 3. Найдите \(x\) из \(5^x=212\)

Решение:

\(5^x=212\)

Прологорифмируем обе части уравнения:

\(\ln \left(5^x\right)=\ln \left(212\right)\)

Вынесем \(x\):

\(x\ln \left(5\right)=\ln \left(212\right)\)

\(x=\frac{\ln \left(212\right)}{\ln \left(5\right)}\)

Ответ: \(x=\frac{\ln \left(212\right)}{\ln \left(5\right)}\).

Пример 4. Найдите \(x\) из \(2e^x+5=115\)

Решение:

\(2e^x+5=115\)

\(2e^x=110\)

\(e^x=55\)

\(\ln \left(e^x\right)=\ln \left(55\right)\)

\(x\ln \left(e\right)=\ln \left(55\right)\)

Так как \(log_e \left(e\right)=1\) или \(ln \left(e\right)=1\)

\(x=\ln \left(55\right)\)

Ответ: \(x=\ln \left(55\right)\).

Пример 5. Найдите \(x\) из \(6^{3x}=2^{2x-3}\)

\(6^{3x}=2^{2x-3}\)

\(\ln \left(6^{3x}\right)=\ln \left(2^{2x-3}\right)\)

\(3x\ln \left(6\right)=\left(2x-3\right)\ln \left(2\right)\)

\(x=-\frac{3\ln \left(2\right)}{\ln \left(54\right)}\)

Ответ: \(x=-\frac{3\ln \left(2\right)}{\ln \left(54\right)}\).

Предыдущая статья

Следующая статья

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

Репетиторы

Специализация

Похожие статьи

Изображение дробей на координатной прямой

Обновлено: 30 ноя 2024

Свойства корней

Обновлено: 21 окт 2024

Обратно пропорциональная зависимость

Обновлено: 18 дек 2024

Куб дроби

Обновлено: 18 ноя 2024

Признак делимости на 13

Обновлено: 17 июн 2024

7 способов избавиться от насморка у детей

Обновлено: 16 мар 2025

10 техник самообладания, чтобы не срываться по мелочам

Обновлено: 24 мар 2025

Советы по созданию здоровой и продуктивной учебной среды

Обновлено: 16 окт 2024