Показательные уравнения

Как решать показательные уравнения?

Пример 1. Найдите \(x\) из \(8^{x-2}=\sqrt{8}\)

Решение:

\(8^{x-2}=8^2\)\(\)

\(x-2=\frac{1}{2}\)

\(x=\frac{5}{2}\)

Ответ: \(x=\frac{5}{2}\).

Пример 2. Найдите \(x\) из \(3^x=9^{x+5}\).

Решение:

\(3^x=9^{x+5}\)

\(3^x=\left(3^2\right)^{x+5}\)

\(x=2\left(x+5\right)\)

\(x=2x+10\)

\(x=-10\)

Ответ: \(x=-10\).

Пример 3. Найдите \(x\) из \(5^x=212\)

Решение:

\(5^x=212\)

Прологорифмируем обе части уравнения:

\(\ln \left(5^x\right)=\ln \left(212\right)\)

Вынесем \(x\):

\(x\ln \left(5\right)=\ln \left(212\right)\)

\(x=\frac{\ln \left(212\right)}{\ln \left(5\right)}\)

Ответ: \(x=\frac{\ln \left(212\right)}{\ln \left(5\right)}\).

Пример 4. Найдите \(x\) из \(2e^x+5=115\)

Решение:

\(2e^x+5=115\)

\(2e^x=110\)

\(e^x=55\)

\(\ln \left(e^x\right)=\ln \left(55\right)\)

\(x\ln \left(e\right)=\ln \left(55\right)\)

Так как \(log_e \left(e\right)=1\) или \(ln \left(e\right)=1\)

\(x=\ln \left(55\right)\)

Ответ: \(x=\ln \left(55\right)\).

Пример 5. Найдите \(x\) из \(6^{3x}=2^{2x-3}\)

\(6^{3x}=2^{2x-3}\)

\(\ln \left(6^{3x}\right)=\ln \left(2^{2x-3}\right)\)

\(3x\ln \left(6\right)=\left(2x-3\right)\ln \left(2\right)\)

\(x=-\frac{3\ln \left(2\right)}{\ln \left(54\right)}\)

Ответ: \(x=-\frac{3\ln \left(2\right)}{\ln \left(54\right)}\).

Предыдущая статья

Следующая статья

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

Репетиторы

Специализация

Похожие статьи

Первообразная

Обновлено: 08 июн 2025

Ромб

Обновлено: 01 окт 2024

Объемы геометрических фигур

Обновлено: 24 окт 2024

Вписанный угол окружности

Обновлено: 05 фев 2025

Как легко разделить на 0,125

Обновлено: 13 фев 2025

Как перевести тонны в килограммы?

Обновлено: 12 май 2025

НИУ ВШЭ: Логистика и Управление целями поставок

Обновлено: 01 май 2025

10 способов помириться с другом/подругой

Обновлено: 26 дек 2024