img

Как решать показательные уравнения

Обновлено: 16 июл 2023

Как решать показательные уравнения

Мы уже неоднократно писали о том, как решать показательные уравнения. Вопрос всегда сводится к умению применять алгоритм. Давайте еще раз повторим основные теоретические положения этой важной темы.
 
Если в уравнении неизвестное содержится в показателе степени, то такое уравнение называется показательным. Простейшее показательное уравнение имеет вид: ах = аb, где а>0, а≠1, х - неизвестное.
Основные свойства степеней, при помощи которых преобразуются показательные уравнения: а>0, b>0.
  1. a0 = 1, a1= а.
  2. a-n = 1/ an
  3. an × am = an+m
  4. an/am = an-m
  5. (an)m = anm
  6. (ab)n = an×bn
  7. (a/b)n = an/bn.
При решении показательных уравнений пользуются также следующими свойствами показательной функции: y = ax, a > 0, a≠1:
ax>0, при всех a>0 и xϵR;
\(a^{x1}=a^{x2}\) ⇔  x1=x2.
 
Для представления числа в виде степени используют:
a > 0, a≠1, b > 0.
 

Свойства и алгоритм решения показательных уравнений

  1. Решение уравнений вида аf(x)=aq(x) сводится к решению уравнения f(x)=q(x). Иногда в таких уравнениях требуется привести обе части к одинаковому основанию степени, как правило, это разные степени одного основания.
  2. Решение уравнений вида  аf(x)=b. Для решения используем логарифмирование по основанию а, т.е. решаем уравнение f(x)=logab.
  3. Уравнения, решаемые с помощью вынесения за скобки общего множителя.
  4. Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.
  5. Уравнения, содержащие степени с двумя различными (не сводящимися друг к другу) основаниями, af(x)=bf(x). Решением является решения уравнения f(x)=0.
  6. Уравнения, однородные относительно ax и bx.

Пример решения показательных уравнений

Задание №13.

 

Условие:

а) Решите уравнение https://ege.sdamgia.ru/formula/27/27619f90b1995f39cfde3b9008197086p.png

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку https://ege.sdamgia.ru/formula/cc/ccd364fd00a3d6e8ec3fcc8d02d437d9p.png

 

Решение:

а) Если внимательно посмотреть на исходное уравнение: https://ege.sdamgia.ru/formula/fe/fec554d6099d41d90d9e2cb57482c010p.png

то можно заметить, что не только показатели степени одинаковые, но и основания степени можно унифицировать, представив «9» как «3 в квадрате». Это позволит нам сделать замену переменной.

Пусть https://ege.sdamgia.ru/formula/19/1908fbb189e2cd43ae9f6166353247eap.png тогда уравнение мы запишем в виде https://ege.sdamgia.ru/formula/a6/a6ac777d275d47eab0ccd329a23c5d61p.png 

Соответственно, у нас получилось квадратное уравнение относительно переменной «t». Решая это уравнение через Дискриминант, получим два корня:

 https://ege.sdamgia.ru/formula/13/13682f524ee5322338fb0fc5e91af229p.png или

 https://ege.sdamgia.ru/formula/ad/ad634ce6751703606a02cee6b17d1d09p.png

Далее делаем обратную замену:

 

При https://ege.sdamgia.ru/formula/3f/3f3d5118e374c670258e6e2b2cfb1b0cp.png получим: https://ege.sdamgia.ru/formula/e7/e7d0086026f364b5bbdae7b2d42ba310p.png откуда https://ege.sdamgia.ru/formula/fb/fb6a4dda08f8b6b0154a6745f57cf404p.png (так как «1» в правой части, это «3» в «нулевой степени»)

При https://ege.sdamgia.ru/formula/a0/a0df9f62489172b39d8762237728227ep.png получим: https://ege.sdamgia.ru/formula/99/99bf6d33791b2355f75494e8cd742a1bp.png откуда https://ege.sdamgia.ru/formula/00/002d69ac21e8995cd7c61d115dbe2a94p.png

Здесь мы сначала используем свойство степени и в левой части «3» в степени «х» разделим на «3» в «первой степени, затем разделим обе части уравнения на три и используем определение логарифма числа.

 

б) Определим, принадлежат ли полученные корни заданному промежутку.

Корень https://ege.sdamgia.ru/formula/d3/d37ffc54b67ce8de1f01efb1f2e33689p.png не принадлежит промежутку https://ege.sdamgia.ru/formula/54/54526b9678304009f683870419fc4655p.png , так как концы отрезка в данном случае не входят в промежуток, что обозначено круглыми скобками.

Теперь посмотрим на второй корень. Поскольку https://ege.sdamgia.ru/formula/34/34b7f4bbbbac4ea00403ce1e1ee1c86fp.png и https://ege.sdamgia.ru/formula/bd/bdcb96f125ecc5a59f73907f60d4b2e6p.png то получается, что корень https://ege.sdamgia.ru/formula/41/41e48fce22e41d9609a18060386189fbp.png принадлежит данному промежутку https://ege.sdamgia.ru/formula/54/54526b9678304009f683870419fc4655p.png

 

Ответ: а) https://ege.sdamgia.ru/formula/ac/ac1a8cce80401ec7b5e5a209e7c40592p.png б) https://ege.sdamgia.ru/formula/34/3474fc56bd96ec543f015a54d6ff58acp.png

 

 
Успехов!
 
Автор - Дмитрий Айстраханов

Часто задаваемые вопросы:

Показательные уравнения - это уравнения, в которых неизвестные значения находятся в показателях степени. Обычно имеют вид \(a^x = b\), где "a" и "b" - известные числа, а "x" - неизвестное.

Если \(a^x = b\), и "a" возводится в степень "x", чтобы получить "b", тогда \(x = logₐ(b)\). Используйте логарифм с основанием "a", чтобы найти значение "x".

Решайте уравнение, используя свойства логарифмов. Если \(a^x = b\), где "a" - константа, а "x" - переменная, тогда x = logₐ(b). Важно учитывать ограничения области определения, чтобы исключить недопустимые значения.

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

line gift

Похожие статьи