17 задача профильного ЕГЭ на вклады с платежами равными взносами

 
Задача
 
Пусть в банке планируется взять кредит в банке на некоторую сумму S. Условия его возврата таковы: в начале года долг увеличивается на r % по сравнению с концом прошлого года; до конца каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найти общую сумму платежей, внесенных клиентом после погашения кредита, если все ежегодные платежи равны между собой.
 
Решение
 
Обозначим через х – вносимый ежегодный платеж, Sm – долг клиента банка на конец m – го года. Тогда долг клиента банку в начале m+1 года вычисляется по формуле Sm *(1 + r/100). Пусть d = 1 + r/100.
 
Вычислим остатки по вкладу на конец первого, второго, третьего и т.д. до n – го года.
 
S1 = S*d – x
 
S2= S1*d – x = (S*d – x)*d – x = S*d2- x*d -x
 
S3 = S2 *d – x = (S*d2- x*d -x )*d – x = S*d3- x*d2 –x*d – x
 
Формула для n – го года имеет вид следующий
 
Sn= Sn-1*d – x = S*dn – x*dn-1- x*dn-2- …- x*d - x = S*dn – x*(dn-1 +dn-2 + …+d + 1) Легко заметить, что выражение на которое умножается х представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом равным единице и коэффициентом геометрической прогрессии равным d. Подставим в формулу остатка по вкладу для n –го года формулу суммы n-1 членов геометрической   прогрессии. Имеем
 
Sn= S*dn – x*((dn  - 1) / (d – 1))
 
Поскольку остаток по вкладу на n – й год равен нулю из полученного уравнения
 
S*dn – x*((dn  - 1) / (d – 1)) =0
 
Получаем х=S*(dn * (d – 1)) / (dn  - 1). Тогда общая сумма выплат равна
 
n*х=n * S * (dn * (d – 1)) / (dn  - 1).
 
Внимание! Использование без вывода окончательной формулы, которой нет в официальных учебниках, считается недопустимым. В этом случае утверждают об отсутствии построения модели задачи. Успехов!
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
4
Образование:
Казанский федеральный университет
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
4
Образование:
Крымский федеральный университет им. Вернадского
Проведенных занятий:
985
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
25
Образование:
Казанский государственный педагогический университет
Проведенных занятий:
1
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
Специализации