17 задача профильного ЕГЭ на вклады с платежами равными взносами
Задача
Пусть в банке планируется взять кредит в банке на некоторую сумму S. Условия его возврата таковы: в начале года долг увеличивается на r % по сравнению с концом прошлого года; до конца каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найти общую сумму платежей, внесенных клиентом после погашения кредита, если все ежегодные платежи равны между собой.
Решение
Обозначим через х – вносимый ежегодный платеж, Sm – долг клиента банка на конец m – го года. Тогда долг клиента банку в начале m+1 года вычисляется по формуле Sm *(1 + r/100). Пусть d = 1 + r/100.
Вычислим остатки по вкладу на конец первого, второго, третьего и т.д. до n – го года.
S1 = S*d – x
S2= S1*d – x = (S*d – x)*d – x = S*d2- x*d -x
S3 = S2 *d – x = (S*d2- x*d -x )*d – x = S*d3- x*d2 –x*d – x
Формула для n – го года имеет вид следующий
Sn= Sn-1*d – x = S*dn – x*dn-1- x*dn-2- …- x*d - x = S*dn – x*(dn-1 +dn-2 + …+d + 1) Легко заметить, что выражение на которое умножается х представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом равным единице и коэффициентом геометрической прогрессии равным d. Подставим в формулу остатка по вкладу для n –го года формулу суммы n-1 членов геометрической прогрессии. Имеем
Sn= S*dn – x*((dn - 1) / (d – 1))
Поскольку остаток по вкладу на n – й год равен нулю из полученного уравнения
S*dn – x*((dn - 1) / (d – 1)) =0
Получаем х=S*(dn * (d – 1)) / (dn - 1). Тогда общая сумма выплат равна
n*х=n * S * (dn * (d – 1)) / (dn - 1).
Внимание! Использование без вывода окончательной формулы, которой нет в официальных учебниках, считается недопустимым. В этом случае утверждают об отсутствии построения модели задачи. Успехов!
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
9
Образование:
Гродненский государственный университет им. Янки Купалы
Проведенных занятий:
2347
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
14
Образование:
Минский государственный лингвистический университет
Проведенных занятий:
910
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
1
Образование:
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
Проведенных занятий:
30
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
- Математика
- Репетитор по физике
- Репетитор по химии
- Репетитор по русскому языку
- Репетитор по английскому языку
- Репетитор по обществознанию
- Репетитор по истории России
- Репетитор по биологии
- Репетитор по географии
- Репетитор по информатике
Специализации
- Репетитор по олимпиадной математике
- Репетитор по геометрии
- Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень)
- Репетитор по химии для подготовки к ЕГЭ
- Подготовка к олимпиадам по химии
- ВПР по физике
- Репетитор для подготовки к ВПР по обществознанию
- Репетитор для подготовки к ОГЭ по обществознанию
- Репетитор по биологии для подготовки к ОГЭ
- Репетитор по географии для подготовки к ЕГЭ
Похожие статьи
- Длина окружности и площадь круга
- ИВТ (Информатика и Вычислительная Техника): МФТИ
- ОГЭ по математике. Решаем задание №17
- ОГЭ по математике, базовый уровень. Системы неравенств
- Задачи с показательными уравнениями и неравенствами
- Лучшие идеи декора на Хэллоуин своими руками
- 15 советов по воспитанию ребенка от Медведя из мультика Маша и Медведь
- Тонкости этикета или как вести себя в различных общественных местах
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так