17 задача профильного ЕГЭ на вклады с платежами равными взносами

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике

Задача

Пусть в банке планируется взять кредит в банке на некоторую сумму S. Условия его возврата таковы: в начале года долг увеличивается на r % по сравнению с концом прошлого года; до конца каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найти общую сумму платежей, внесенных клиентом после погашения кредита, если все ежегодные платежи равны между собой.

Решение

Обозначим через х – вносимый ежегодный платеж, S_m – долг клиента банка на конец m – го года. Тогда долг клиента банку в начале m+1 года вычисляется по формуле S_m *(1 + r/100). Пусть d = 1 + r/100.

Вычислим остатки по вкладу на конец первого, второго, третьего и т.д. до n – го года.

S₁= S*d – x

S₂= S₁*d – x = (S*d – x)*d – x = S*d²- x*d -x

S₃ = S₂ *d – x = (S*d²- x*d -x )*d – x = S*d³- x*d² –x*d – x

Формула для n – го года имеет вид следующий

S_n= S_n_-1*d – x = S*dⁿ – x*dⁿ^-1- x*dⁿ^-2- …- x*d - x = S*dⁿ – x*(dⁿ^-1+dⁿ^-2 + …+d + 1) Легко заметить, что выражение на которое умножается х представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом равным единице и коэффициентом геометрической прогрессии равным d. Подставим в формулу остатка по вкладу для n –го года формулу суммы n-1 членов геометрической прогрессии. Имеем

S_n= S*dⁿ – x*((dⁿ - 1) / (d – 1))

Поскольку остаток по вкладу на n – й год равен нулю из полученного уравнения

S*dⁿ – x*((dⁿ - 1) / (d – 1)) =0

Получаем х=S*(dⁿ * (d – 1)) / (dⁿ - 1). Тогда общая сумма выплат равна

n*х=n * S * (dⁿ * (d – 1)) / (dⁿ - 1).

Внимание! Использование без вывода окончательной формулы, которой нет в официальных учебниках, считается недопустимым. В этом случае утверждают об отсутствии построения модели задачи. Успехов!

Предыдущая статья