17 задача профильного ЕГЭ на вклады с платежами равными взносами

 
Задача
 
Пусть в банке планируется взять кредит в банке на некоторую сумму S. Условия его возврата таковы: в начале года долг увеличивается на r % по сравнению с концом прошлого года; до конца каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найти общую сумму платежей, внесенных клиентом после погашения кредита, если все ежегодные платежи равны между собой.
 
Решение
 
Обозначим через х – вносимый ежегодный платеж, Sm – долг клиента банка на конец m – го года. Тогда долг клиента банку в начале m+1 года вычисляется по формуле Sm *(1 + r/100). Пусть d = 1 + r/100.
 
Вычислим остатки по вкладу на конец первого, второго, третьего и т.д. до n – го года.
 
S1 = S*d – x
 
S2= S1*d – x = (S*d – x)*d – x = S*d2- x*d -x
 
S3 = S2 *d – x = (S*d2- x*d -x )*d – x = S*d3- x*d2 –x*d – x
 
Формула для n – го года имеет вид следующий
 
Sn= Sn-1*d – x = S*dn – x*dn-1- x*dn-2- …- x*d - x = S*dn – x*(dn-1 +dn-2 + …+d + 1) Легко заметить, что выражение на которое умножается х представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом равным единице и коэффициентом геометрической прогрессии равным d. Подставим в формулу остатка по вкладу для n –го года формулу суммы n-1 членов геометрической   прогрессии. Имеем
 
Sn= S*dn – x*((dn  - 1) / (d – 1))
 
Поскольку остаток по вкладу на n – й год равен нулю из полученного уравнения
 
S*dn – x*((dn  - 1) / (d – 1)) =0
 
Получаем х=S*(dn * (d – 1)) / (dn  - 1). Тогда общая сумма выплат равна
 
n*х=n * S * (dn * (d – 1)) / (dn  - 1).
 
Внимание! Использование без вывода окончательной формулы, которой нет в официальных учебниках, считается недопустимым. В этом случае утверждают об отсутствии построения модели задачи. Успехов!
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
4
Образование:
Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина
Проведенных занятий:
914
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-11 классов. Люблю математику за то, что она дисциплинирует человека, систематизирует мысли, помогает другим наукам, без неё никуда! Помогу ученикам закрепить знания, которые имеются, восполню "пробелы" и научу новому. Также помогу с домашним заданием. Индивидуальный подход к каждому ученику. Жду Вас на своих занятиях!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
2
Образование:
Донецкий национальный университет
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по химии для 7-11 классов. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ, Я использую методы дискуссии, метод самостоятельной работы с учеником, метод самостоятельной работы с дидактическими материалами (для старших классов), анкетирование, презентация. Для меня химия - с детства любимый предмет. Было интересно познавать вещества, процессы происходящие с ними, самого себя. Я и сейчас считаю, что мой предмет важнейший, интереснейший. Без широкого знания в области химии невозможно сегодня развивать сельское хозяйство, здравоохранение, охрану природы, а значит, и общество в целом.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
2
Образование:
УРСПК
Проведенных занятий:
103
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике для 1-9 классов. Подготовка к ОГЭ. Мне очень нравится показывать детям, что математика это увлекательно и интересно. На уроках стараюсь создать приятную атмосферу, чтобы ученик чувствовал себя комфортно. Люблю находить общие интересы с ребенком и использовать их в процессе обучения.