Задачи на числа и их свойства

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике ОГЭ по математике Подготовка к ОГЭ

Условие:

У Кости была кучка из 100 камешков. Каждым ходом он делил какую-то из кучек на две меньших, пока у него не оказалось 100 кучек по одному камешку.

а) возможно ли, что в какой-то момент в каких-то 30 кучках было ровно 60 камешков;

б) возможно ли, что в какой-то момент в каких-то 20 кучках было в сумме ровно 60 камешков;

в) мог ли Костя действовать так, чтобы ни в какой момент не нашлось 19 кучек, в которых в сумме ровно 60 камешков?

Решение

Эта задача, по сути, содержит в себе три обособленные задачи, объединенные одной идеей. Начнем рассуждать.

а) Проследим, когда кучек у Кости станет 70. Среди них мы найдем 40 кучек по одному камешку. Это вытекает из того, что иначе камешков будет не меньше, чем 2 · 31 + 39 = 101. Если отбросить эти 40 кучек, то останется 30 кучек, содержащих 60 камешков.

б) Докажем, что при n = 2, 3, … 20 в некоторый момент найдется 2n + 6 камней в n + 20 кучках.

Возьмем n = 20. После сорокового хода у нас будет 100 камней в 40 кучках.

Далее, пусть n > 2 и есть 2n + 6 камней в n + 20 кучках. Среди них найдется кучка из двух камней или 2 кучки по одному камню, поскольку (n + 19) + 1 > 2n + 60. Отложим их и во втором случае проследим, когда Костя разобьет одну из оставшихся кучек на две. Тогда n уменьшится на единицу.

Получится, что при n = 2 мы имеем 64 камня в 22 кучках. Докажем, что мы можем набрать 4 камня двумя или более кучками. Если нет, тогда если есть кучка из одного камня, то камней не меньше, чем 1 + 1 + 1 + 4 · 19 > 64 если нет, то камней не меньше, чем 2 + 3 · 21 > 64. Это противоречие. Отбросив эти 4 камня мы получим 60 камней в 20 или менее кучках. Если кучек меньше 20, то осталось дождаться, когда кучек станет ровно 20.

в) Допустим, что Костя отделяет от самой большой кучи по три камешка до тех пор, пока не останется кучка из четырех камней. До этого была ровно одна куча, число камешков в которой не делилось на 3. Сумма в любых 19 кучках с ее участием не делилась на 3, а без неё не превосходила 57, то есть не могла равняться 60. Теперь допустим, что Костя разделит кучку из 4 камней на две кучи по два камня. Теперь в каждой куче не больше трех камней, поэтому в любых 19 кучах не более 57 камней.

Ответ: а) да; б) да; в) да, мог.

Автор - Андрей Найденов

Предыдущая статья