Задачи на вклад в банк

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике

Условие:

За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом \({11}{1\over9}\)% и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на \({104}{1\over6}\)%. Определите срок хранения вклада.

Решение:

Итак, из условия задачи нам известно:

- Проценты на вклад начислялись ежемесячно.

- Каждая последующая процентная надбавка по истечении календарного месяца начислялась с учетом вновь образованной суммы вклада и с учетом предыдущих надбавок.

- Процентная ставка в течение срока хранения вклада изменялась четыре раза

- Изменение процентной ставки происходило в том порядке, который отражен в условии задачи.

На основании условия задачи, сделаем необходимые последовательные шаги:

1)Если первоначальная сумма вклада при ежемесячной 5%-ной ставке начисления процентов продержалась, например, k месяцев, то вклад ежемесячно увеличивался в \(1+5*0,01\) раз, и этот коэффициент будет сохранен до тех пор, пока ставка не изменится.

2)При изменении процентной надбавки c 5% на 12% (ставка 12% продержалась, например, m месяцев) первоначальная сумма вклада за k+m месяцев увеличится в \((1+0,05)^k*(1+0,12)^m=({21\over20})^k*({28\over25})^m\) раз.

3)Предположим, что процентная ставка \({11}{1\over9}\) продержалась, например, n месяцев: \((1+{100\over9}*0,01)^n=({10\over9})^n\)

4)Предположим, что процентная ставка 12,5 продержалась, например, t месяцев: \((1+12,5*0,01)^t=({9\over8})^t\)

Таким образом, коэффициент повышения суммы вклада в целом за весь период хранения вклада в банке будет равен произведению составленных выше условий и составит:

Полученное выражение отражает все изменения с процентной ставкой за весь период размещения вклада.

С другой стороны, согласно условию задачи первоначальная сумма вклада за это же время увеличилась на \({104}{1\over6}\), то есть в

раз.

Значит:

Получилось выражение, в котором имеются множители, стоящие в степени.

Вспомним основную теорему арифметики:

Каждое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых множителей, и это представление единственное с точностью до порядка их следования.

Используя эту теорему, мы можем записать:

Получается система из четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Это вполне доступный для решения вариант. Решим эту систему относительно натуральных k, m, n и t.

Из последнего уравнения системы, с учетом того, что неизвестные являются целыми положительными числами, получаем: \(k=m=1\) При этих значениях k и m система примет более простой вид: