Задачи на вклад в банк

 
 
Условие:
За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом \({11}{1\over9}\)% и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на \({104}{1\over6}\)%. Определите срок хранения вклада.
Решение:
 
Итак, из условия задачи нам известно:
- Проценты на вклад начислялись ежемесячно.
- Каждая последующая процентная надбавка по истечении календарного месяца начислялась с учетом вновь образованной суммы вклада и с учетом предыдущих надбавок.
- Процентная ставка в течение срока хранения вклада изменялась четыре раза
- Изменение процентной ставки происходило в том порядке, который отражен в условии задачи.
 
На основании условия задачи, сделаем необходимые последовательные шаги:
 
1)Если первоначальная сумма вклада при ежемесячной 5%-ной ставке начисления процентов продержалась, например, k месяцев, то вклад ежемесячно увеличивался в   \(1+5*0,01\) раз, и этот коэффициент будет сохранен до тех пор, пока ставка не изменится.
 
2)При изменении процентной надбавки c 5% на 12% (ставка 12% продержалась, например, m месяцев) первоначальная сумма вклада за k+m месяцев увеличится в \((1+0,05)^k*(1+0,12)^m=({21\over20})^k*({28\over25})^m\) раз.
 
3)Предположим, что процентная ставка \({11}{1\over9}\) продержалась, например, n месяцев: \((1+{100\over9}*0,01)^n=({10\over9})^n\)
 
4)Предположим, что процентная ставка 12,5 продержалась, например, месяцев: \((1+12,5*0,01)^t=({9\over8})^t\)
 
Таким образом, коэффициент повышения суммы вклада в целом за весь период хранения вклада в банке будет равен произведению составленных выше условий и составит:
 
 
Полученное выражение отражает все изменения с процентной ставкой за весь период размещения вклада.
С другой стороны, согласно условию задачи первоначальная сумма вклада за это же время увеличилась на \({104}{1\over6}\), то есть в
 раз. 
 
Значит:
 
 
Получилось выражение, в котором имеются множители, стоящие в степени.
 
Вспомним основную теорему арифметики:
Каждое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых множителей, и это представление единственное с точностью до порядка их следования.
 
Используя эту теорему, мы можем записать:
 
 
Получается система из четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Это вполне доступный для решения вариант. Решим эту систему относительно натуральных k, m, n и t
 
Из последнего уравнения системы, с учетом того, что неизвестные являются целыми положительными числами, получаем: \(k=m=1\) При этих значениях k и m система примет более простой вид:
 
 
Это система из двух уравнений с двумя неизвестными. Решим её:
 
 
Итак, \(k+m+n+t=1+1+3+2=7\). Вклад в банке на хранении был 7 месяцев. При найденных значениях k, m, n и t выражение действительно равно нулю.
 
Ответ: 7.
 
Автор - Андрей Найденов
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
6
Образование:
Тираспольский государственный университет
Проведенных занятий:
298
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
26
Образование:
Ставропольский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
181
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
1
Образование:
Тюменский государственный университет
Проведенных занятий:
9
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
Специализации