img

Средняя линия треугольника

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

Определение
 Средняя линия треугольника

\(AM = MC ; BN = NC =>\)
\(MN || AB\)
\(MN = \frac{AB }{ 2}\)
 

Теорема о средней линии треугольника

Теорема о средней линии треугольника - это геометрическое утверждение, связанное со средними линиями треугольника и их свойствами.

Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Другими словами, в треугольнике со сторонами , и , средняя линия, проведенная из середины стороны , будет параллельна и равна половине длины стороны . Аналогично для средних линий, проведенных из середин других сторон.

Эта теорема имеет важное геометрическое значение, и она также используется в решении различных задач, связанных с треугольниками.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине:
  \(MN\parallel AC;\)
  \(MN = \frac{1}{2}AC\)

 

Свойства средней линии треугольника

Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. У средних линий есть несколько интересных свойств:

  1. Параллельность: каждая средняя линия параллельна соответствующей стороне треугольника. То есть, если и - стороны треугольника, а и - середины этих сторон, то средняя линия параллельна и .

  2. Деление в отношении 2:1: центр масс треугольника (точка пересечения средних линий) делит каждую среднюю линию в отношении 2:1. Это означает, что более короткие отрезки, образованные центром масс и каждой из вершин треугольника, равны половине длины более длинного отрезка.

  3. Равенство площадей четырехугольников: если провести средние линии из вершин треугольника, то они образуют шесть маленьких треугольников и три четырехугольника. Площади этих четырехугольников равны между собой.

  4. Сравнение длин: длина средней линии меньше длины самой длинной стороны треугольника, но больше длины самой короткой стороны.

Эти свойства делают средние линии треугольника полезными инструментами в геометрических рассуждениях и задачах.

Деление отрезка на равные части

Разделим данный отрезок \(AB\) на \(5\) равных частей.
Пусть \(p\)-произвольный луч с началом \(A\) и \(p\) не лежит на \(АВ\). Нарисуем пять последовательно равных треугольников.
Теорема о средней линии треугольника
\(АА_1 = А_1А_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5\)
Соединим \(A_5\) с \(B\) и нарисуем линии через \(A_4, A_3, A_2\) и \(A_1\), которые параллельны \(A_5B\). Они пересекают \(AB\) соответственно в точках \(B_4, B_3, B_2\) и \(B_1\). Эти точки делят отрезок \(AB\) на пять равных частей.
\(А_1B_1 ||А_2B_2 ||A_2B_2 || A_3B_3 ||A_4B_4 ||A_5B_5 ||A_6B_6\)

И \(AB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5=B_5B_6\)

Понятно, что если \(AB\) разделить на другое количество равных частей, у нас получится то же самое.
 

Часто задаваемые вопросы:

Средние линии треугольника обладают рядом интересных свойств. Одно из них - центр масс треугольника (точка пересечения средних линий) делит каждую среднюю линию в отношении 2:1, где две более короткие части равны одной более длинной.

Центр масс треугольника (точка пересечения средних линий) может быть найден как среднее арифметическое координат вершин треугольника.

Да, треугольник может иметь среднюю линию длиной ноль, если он вырожденный, то есть все его вершины лежат на одной прямой.

Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
4
Образование:
Университет штата Аризона
Проведенных занятий:
1212
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
3
Образование:
ВГУ им. П. М. Машерова
Проведенных занятий:
275
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
2
Образование:
Мордовский государственный педагогический университет имени М. Е. Евсевьева
Проведенных занятий:
231
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)