Решение показательных уравнений

Преподаватель математики Андрей Алексеевич продолжает рассматривать задачи профильного уровня для подготовки к ЕГЭ. Разбираемся с заданием из темы «Показательные уравнения».

 

Задание №13

 

Условие:

а) Решите уравнение https://ege.sdamgia.ru/formula/44/44ac8c9c6408943f2a99bb5cf714722ep.png

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку https://ege.sdamgia.ru/formula/36/36af5de71b910cb4d94c72d44267900ep.png

 

Решение:

а) Преобразуем уравнение, используя свойства степени.

В первом слагаемом «+1», это «4». Запишем первое слагаемое как «4», умноженное на оставшееся выражение. Это выражение получится точно такое же, как и второе слагаемое.

Затем вынесем за скобку общий множитель этих двух слагаемых, это будет целиком второе слагаемое. В скобках останется выражение «(4 + 1)», что соответственно будет равно «5».

Разделим обе части уравнения на «5». В правой части получим «20 :  5 = 4». «4» мы можем представить как «4 в первой степени». Поскольку в обеих частях уравнения мы пришли к выражениям, где в основании степени стоит одно и то же число «4», то мы имеем право перейти к рассмотрению отдельного уравнения, в котором приравниваем показатели степени. После преобразований получаем классическое квадратное уравнение. Кратко запишем ход решения:

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/4f/4f3aaa25c8dd687b96558cee1dc89872p.png

https://ege.sdamgia.ru/formula/c6/c68c5a291b66c10318eb19e5aefee921p.png

 

Найдем корни этого уравнения через дискриминант. Дискриминант получается «больше нуля», значит у нас будет два корня. Вычисляем корни, получаем

 

 https://ege.sdamgia.ru/formula/c4/c4406163ed0a0df2577be008acea1a32p.png

Первую часть задания мы выполнили. Переходим ко второй части.

 

б) Оценим сначала  https://ege.sdamgia.ru/formula/d2/d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6p.png  целыми числами: https://ege.sdamgia.ru/formula/7f/7f4d15dc279d0fb301db4655a495eeddp.png  В это неравенство во все три части внесем «1» двумя способами. Сначала прибавим «1» ко всем трем частям, а во втором случае отнимем «1».

Тогда получим:

https://ege.sdamgia.ru/formula/49/493d876cdd61e23609ee7466556e3e07p.png и https://ege.sdamgia.ru/formula/f0/f0b1b8eac0975dae1eef716d0f93d90ep.png

 

Мы видим, что в средней части неравенства стоят выражения, соответствующие полученным корням уравнения. И мы их можем оценить относительно заданного отрезка.

 

Отрезку  https://ege.sdamgia.ru/formula/eb/ebf68dc498c1b731a4d8cc4d0377c481p.png  принадлежит только один корень:  https://ege.sdamgia.ru/formula/7a/7a07f6cfaff052967ce1d521640a2c76p.png

Записываем ответ.

 

Ответ а) https://ege.sdamgia.ru/formula/61/6182fdb462ed0a4902d5e8940d605d4ep.png б) https://ege.sdamgia.ru/formula/7a/7a07f6cfaff052967ce1d521640a2c76p.png

 
Автор: Андрей Найдёнов.
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
20
Образование:
Воронежский государственный педагогический университет
Проведенных занятий:
119
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
31
Образование:
Астраханский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
66
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
3
Образование:
Санкт-Петербургский Горный университет
Проведенных занятий:
126
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
Специализации