Как решать показательные уравнения?

Друзья, рады представить вам новую задачу с подробным решением от одного из лучших математиков нашего проекта — Андрея Алексеевича.

Здравствуйте!

Сегодня предлагаю разобрать уравнение, приведенное ниже.

Это задание №13.

Итак,

Условие:

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение:

а) Если внимательно посмотреть на исходное уравнение:

то можно заметить, что не только показатели степени одинаковые, но и основания степени можно унифицировать, представив «9» как «3 в квадрате». Это позволит нам сделать замену переменной.

Пусть тогда уравнение мы запишем в виде

Соответственно, у нас получилось квадратное уравнение относительно переменной «t». Решая это уравнение через Дискриминант, получим два корня:

или

Далее делаем обратную замену:

При получим: откуда (так как «1» в правой части, это «3» в «нулевой степени»)

При получим: откуда (здесь мы сначала используем свойство степени и в левой части «3» в степени «х» разделим на «3» в «первой степени, затем разделим обе части уравнения на три и используем определение логарифма числа)