Как решать показательные уравнения?

Друзья, рады представить вам новую задачу с подробным решением от одного из лучших математиков нашего проекта — Андрея Алексеевича.

 

 

Здравствуйте!

Сегодня предлагаю разобрать уравнение, приведенное ниже.

 

Это задание №13.

 

Итак,

Условие:

а) Решите уравнение https://ege.sdamgia.ru/formula/27/27619f90b1995f39cfde3b9008197086p.png

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку https://ege.sdamgia.ru/formula/cc/ccd364fd00a3d6e8ec3fcc8d02d437d9p.png

 

Решение:

а) Если внимательно посмотреть на исходное уравнение: https://ege.sdamgia.ru/formula/fe/fec554d6099d41d90d9e2cb57482c010p.png

то можно заметить, что не только показатели степени одинаковые, но и основания степени можно унифицировать, представив «9» как «3 в квадрате». Это позволит нам сделать замену переменной.

Пусть https://ege.sdamgia.ru/formula/19/1908fbb189e2cd43ae9f6166353247eap.png тогда уравнение мы запишем в виде https://ege.sdamgia.ru/formula/a6/a6ac777d275d47eab0ccd329a23c5d61p.png 

Соответственно, у нас получилось квадратное уравнение относительно переменной «t». Решая это уравнение через Дискриминант, получим два корня:

 https://ege.sdamgia.ru/formula/13/13682f524ee5322338fb0fc5e91af229p.png или

 https://ege.sdamgia.ru/formula/ad/ad634ce6751703606a02cee6b17d1d09p.png

Далее делаем обратную замену:

 

При https://ege.sdamgia.ru/formula/3f/3f3d5118e374c670258e6e2b2cfb1b0cp.png получим: https://ege.sdamgia.ru/formula/e7/e7d0086026f364b5bbdae7b2d42ba310p.png откуда https://ege.sdamgia.ru/formula/fb/fb6a4dda08f8b6b0154a6745f57cf404p.png (так как «1» в правой части, это «3» в «нулевой степени»)

При https://ege.sdamgia.ru/formula/a0/a0df9f62489172b39d8762237728227ep.png получим: https://ege.sdamgia.ru/formula/99/99bf6d33791b2355f75494e8cd742a1bp.png откуда https://ege.sdamgia.ru/formula/00/002d69ac21e8995cd7c61d115dbe2a94p.png (здесь мы сначала используем свойство степени и в левой части «3» в степени «х» разделим на «3» в «первой степени, затем разделим обе части уравнения на три и используем определение логарифма числа)

 

б) Определим, принадлежат ли полученные корни заданному промежутку.

Корень https://ege.sdamgia.ru/formula/d3/d37ffc54b67ce8de1f01efb1f2e33689p.png не принадлежит промежутку https://ege.sdamgia.ru/formula/54/54526b9678304009f683870419fc4655p.png , так как концы отрезка в данном случае не входят в промежуток, что обозначено круглыми скобками.

Теперь посмотрим на второй корень. Поскольку https://ege.sdamgia.ru/formula/34/34b7f4bbbbac4ea00403ce1e1ee1c86fp.png и https://ege.sdamgia.ru/formula/bd/bdcb96f125ecc5a59f73907f60d4b2e6p.png то получается, что корень https://ege.sdamgia.ru/formula/41/41e48fce22e41d9609a18060386189fbp.png принадлежит данному промежутку https://ege.sdamgia.ru/formula/54/54526b9678304009f683870419fc4655p.png

 

Ответ: а) https://ege.sdamgia.ru/formula/ac/ac1a8cce80401ec7b5e5a209e7c40592p.png б) https://ege.sdamgia.ru/formula/34/3474fc56bd96ec543f015a54d6ff58acp.png

 

Автор: Андрей Найденов.

 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
21
Образование:
Белорусский государственный педагогический университет им. М. Танка
Проведенных занятий:
3
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
19
Образование:
Минский государственный лингвистический университет
Проведенных занятий:
1
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
7
Образование:
Московский государственный открытый университет
Проведенных занятий:
952
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
Специализации