Как решать показательные уравнения?
Друзья, рады представить вам новую задачу с подробным решением от одного из лучших математиков нашего проекта — Андрея Алексеевича.
Здравствуйте!
Сегодня предлагаю разобрать уравнение, приведенное ниже.
Это задание №13.
Итак,
Условие:
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение:
а) Если внимательно посмотреть на исходное уравнение:
то можно заметить, что не только показатели степени одинаковые, но и основания степени можно унифицировать, представив «9» как «3 в квадрате». Это позволит нам сделать замену переменной.
Пусть тогда уравнение мы запишем в виде
Соответственно, у нас получилось квадратное уравнение относительно переменной «t». Решая это уравнение через Дискриминант, получим два корня:
или
Далее делаем обратную замену:
При получим:
откуда
(так как «1» в правой части, это «3» в «нулевой степени»)
При получим:
откуда
(здесь мы сначала используем свойство степени и в левой части «3» в степени «х» разделим на «3» в «первой степени, затем разделим обе части уравнения на три и используем определение логарифма числа)
б) Определим, принадлежат ли полученные корни заданному промежутку.
Корень не принадлежит промежутку
, так как концы отрезка в данном случае не входят в промежуток, что обозначено круглыми скобками.
Теперь посмотрим на второй корень. Поскольку и
то получается, что корень
принадлежит данному промежутку
Ответ: а) б)
Автор: Андрей Найденов.
- Движение в противоположных направлениях
- НИУ ВШЭ: вступительные испытания и проходные баллы
- Иррациональные уравнения: примеры с решениями
- ЕГЭ по математике, профильный уровень. Иррациональные неравенства
- ОГЭ по математике. Числа и вычисления
- Выпускной-2021: актуальные образы для 9-классников
- Укрепляем отношения: лучшие фильмы/мультфильмы для всей семьи
- Почему многие вкусные продукты вредные?