Как решать показательные уравнения?

Здравствуйте!

Сегодня предлагаю разобрать уравнение, приведенное ниже.

Это задание №13.

Итак,

Условие:

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 

Решение:

а) Если внимательно посмотреть на исходное уравнение: 

то можно заметить, что не только показатели степени одинаковые, но и основания степени можно унифицировать, представив «9» как «3 в квадрате». Это позволит нам сделать замену переменной.

Пусть  тогда уравнение мы запишем в виде  

Соответственно, у нас получилось квадратное уравнение относительно переменной «t». Решая это уравнение через Дискриминант, получим два корня:

  или

Далее делаем обратную замену:

При  получим:  откуда  (так как «1» в правой части, это «3» в «нулевой степени»)

При  получим:  откуда  (здесь мы сначала используем свойство степени и в левой части «3» в степени «х» разделим на «3» в «первой степени, затем разделим обе части уравнения на три и используем определение логарифма числа)

б) Определим, принадлежат ли полученные корни заданному промежутку.

Корень  не принадлежит промежутку  , так как концы отрезка в данном случае не входят в промежуток, что обозначено круглыми скобками.

Теперь посмотрим на второй корень. Поскольку  и  то получается, что корень  принадлежит данному промежутку 

Ответ: а)  б) 

Автор: Андрей Найденов.