img

Как решить квадратное уравнение

23 мар 2024

Как решить квадратное уравнение

Квадратное уравнение – что это?

 
Квадратное уравнение – это уравнение, которое имеет вид:
\(ax^2+bx+c=0\)
 
Что такое a, b и с? Это коэффициенты. У каждого есть свои названия:
а – старший коэффициент;
b – средний коэффициент;
с – свободный член;
a, b, c – абсолютно любые числа. Но здесь важно: а ≠ 0.
 
Почему именно так? Давай поразмышляем: если предположить, что а все же будет равно 0, то наше уравнение уже не будет квадратным и превратится в линейное:
\(bx+c=0\)
А такие уравнения ты уже решать умеешь, поэтому мы вернемся обратно к квадратным уравнениям.
 

Как выглядит квадратное уравнение?

 
К слову, квадратное уравнение может выглядеть необязательно как стандартное\(ax^2+bx+c=0\)
Оно может иметь и другой вид, например:
\(ac^2+bx=c\)
(здесь свободный член с находится по другую сторону знака равно) или \(ax^2=c\) (тут средний коэффициент b = 0, а с находится по другую сторону знака равно). Также коэффициенты могут быть отрицательными и т.д.
Однако следует помнить, что абсолютно любое квадратное уравнение можно привести к стандартному виду:
\(ax^2+bx+c=0\)
 

Как же решать квадратное уравнение?

 
Существует всего три результата решения квадратного уравнения:
  1. Уравнение не имеет решения.
  2. Уравнение имеет только один корень.
  3. Уравнение имеет два корня.
 
Как определить, под какой из этих случаев подпадет наше квадратное уравнение? Для этого нам понадобится дискриминант: он нам поможет в решении квадратного уравнения. Дискриминантом (образован от латинского discrimino – «разбираю»)  мы обозначим следующее выражение:
\(D=b^2-4ac\),
где D – дискриминант, а a, b, c – коэффициенты квадратного уравнения.
 
Чем конкретно нам может помочь дискриминант?
  1. Если D < 0 – то квадратное уравнение не имеет решений;
  2. Если D = 0 – то уравнение будет иметь только один корень;
  3. Если D > 0 – то уравнение имеет два решения.
То есть благодаря дискриминанту мы будем знать о результате и количестве решений квадратного уравнения.
Итак, мы посчитали, чему равен наш дискриминант, потом определили количество решений уравнения, что дальше? А дальше определяем корни квадратного уравнения по формулам.
  1. В первом случае, когда D < 0, считать ничего не нужно, т.к. уравнение не имеет решений. Это значит, что корней квадратного уравнения на множестве действительных чисел нет.
  2. Во втором варианте, когда D = 0, решение будет одно и единственный корень квадратного уравнения будет равен: \(x=\frac{-b}{2a}\)
  3. Третий случай, при D > 0, наиболее сложный из всех трех возможных: в ответе должно получиться два корня квадратного уравнения.
\(x_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a}\)– первый корень квадратного уравнения;
\(x_1=\frac{-b-\sqrt D}{2a}\)– второй корень квадратного уравнения.
 

Как найти дискриминант квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, равное b2 − 4ac. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.
 
Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.
 
Свойства дискриминанты

Как решать квадратные уравнения через дискриминант 

 
Алгоритм решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0:
 
Определим, чему равны коэффициенты a, b, c.
Вычислим значение дискриминанта по формуле D = b2 − 4ac.
  • Если дискриминант D < 0, то корней нет.
  • Если D = 0, то есть один корень, равный −b/2a.
  • Если D > 0, то у уравнения две корня, равные.

Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Пример 1. Решить уравнение: 3x2 - 4x + 2 = 0.
Как решаем:
Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
Найдем дискриминант: D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 * 3 * 2 = 16 - 24 = -8.
Ответ: D < 0, корней нет.
 
Пример 2. Решить уравнение: x2 - 6x + 9 = 0.
Как решаем:
Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
Найдем дискриминант: D = b2 - 4ac = (-6)2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0.
D = 0, значит уравнение имеет один корень:
 
Решение уравнения x2 - 6x + 9 = 0

Ответ: корень уравнения 3. 
 
Решение квадратных уравнений на самом деле не настолько сложное, как кажется на первый взгляд. Всего-то нужно запомнить несколько формул и алгоритм действий. Главное - не бояться вида квадратных уравнений, мы уверены: все у тебя получится! Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.
 

Часто задаваемые вопросы:

Квадратное уравнение - это уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где a, b, и c - коэффициенты, x - переменная.

Квадратное уравнение можно решить, используя формулу Квадратного корня: \(x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a\). Необходимо вычислить значение выражения под корнем и подставить его в формулу.

Квадратное уравнение может иметь два, один или ноль корней. Количество корней зависит от дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\). Если D > 0, то уравнение имеет два корня, если D = 0, то уравнение имеет один корень, если D < 0, то уравнение не имеет корней в области действительных чисел.

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

line gift

Похожие статьи