Решение неравенств с модулем

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике ОГЭ по математике Подготовка к ОГЭ

Что такое модуль \(|x-a|\)?

Давайте дадим определение:

И если мы нарисуем картинку, то получим:

То есть главным моментом будет то, что модуль всегда является числом положительным.

Пример 1. Найдите значение \(\left|6+6x\right|\le \:12\).

Решение :

\(\left|6+6x\right|\le \:12\)

Неравенство с модулем, где модуль меньше или равно какого либо значения \(|a|\le \:b\) является системой , то есть объединение двух интервалов, раскрывается по схеме :

\(\begin{equation*} \begin{cases} a,\;a\le \:b \\a,\; a\ge \:-b \end{cases} \end{equation*}\)

\(\begin{equation*} \begin{cases} 3+2x\le \:7 \\ 3+2x\ge \:-7 \end{cases} \end{equation*}\)

\(\begin{equation*} \begin{cases} 6x\le \:6 \\ 6x\ge \:-18\end{cases} \end{equation*}\)

\(\begin{equation*} \begin{cases} x\le \:1 \\ x\ge \:-3\end{cases} \end{equation*}\)

\(-3\le \:x\le \:1\)

Ответ: \(\left[-3,\:1\right]\).

Пример 2. Найдите значение \(\left|5x-9\right|<\:6\).

Решение :

\(\left|5x-9\right|<\:6\)

\(\begin{equation*} \begin{cases} 5x-9<6 \\ 5x-9>-6\end{cases} \end{equation*}\)

\(\begin{equation*} \begin{cases} 5x<15 \\ 5x>3\end{cases} \end{equation*}\)

\(\begin{equation*} \begin{cases} x<3\\ x>\frac{3}{5}\end{cases} \end{equation*}\)

\(\begin{equation*} \begin{cases} x<3\\ x>0,6\end{cases} \end{equation*}\)

\(0,6<x<3\)

Ответ: \(\left(0,6;\:3\right)\).

Неравенство с модулем, где модуль больше или равно \(|x|\geq a \) решается по формуле и является совокупностью двух интервалов:

\(\left[ \begin{gathered} x \le \: -a \\ x \geq a \\ \end{gathered} \right.\)

Пример 3. Найдите значение \(\left|x-15\right|\ge \:\:3\).

Решение :

\(\left|x-15\right|\ge \:\:3\)

\(\left[ \begin{gathered} x-15\le \:-3\\ x-15\ge \:3 \\ \end{gathered} \right.\)

\(\left[ \begin{gathered} x\le \:12\\ x\ge \:18 \\ \end{gathered} \right.\)

Ответ: \((-\infty \:,\:12]\cup \:[18,\:\infty \:)\).

Пример 4. Найдите значение \(4\left|x+10\right|\ge \:16\).

Решение :

\(4\left|x+10\right|\ge \:16\)

\(\left[ \begin{gathered} x+10\le \:-4\\ x+10\ge \:4\\ \end{gathered} \right.\)

\(\left[ \begin{gathered} x\le \:-14\\ x\ge \:-6\\ \end{gathered} \right.\)

Ответ: \(\:(-\infty \:,\:-14]\cup \:[-6,\:\infty \:)\).

Предыдущая статья

Следующая статья

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

Репетиторы

Специализация

Похожие статьи

Площадь цилиндра

Обновлено: 24 июл 2024

Средняя линия треугольника

Обновлено: 10 сен 2024

Чтение графика функций: парабола

Обновлено: 12 сен 2024

Вычитание в столбик

Обновлено: 25 мар 2025

Как решать уравнения с помощью пропорции?

Обновлено: 03 дек 2024

ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на координатной решетке

Обновлено: 29 май 2024

ОГЭ по математике. Решаем задание №17

Обновлено: 31 дек 2024

ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на исследование функций (вариант 3)

Обновлено: 16 дек 2024