Решение неравенств с модулем

Что такое модуль \(|x-a|\)?
Давайте дадим определение:
Определение модуля |x-a|
И если мы нарисуем картинку, то получим:
Рисунок модуля |x-a|
То есть главным моментом будет то, что модуль всегда является числом положительным.
 
Пример 1.  Найдите значение \(\left|6+6x\right|\le \:12\).
Решение :
\(\left|6+6x\right|\le \:12\)
 
 Неравенство с модулем, где модуль меньше или равно какого либо значения \(|a|\le \:b\) является системой , то есть объединение двух интервалов, раскрывается по схеме :
 
\(\begin{equation*} \begin{cases} a,\;a\le \:b \\a,\; a\ge \:-b \end{cases} \end{equation*}\)
 
\(\begin{equation*} \begin{cases} 3+2x\le \:7 \\ 3+2x\ge \:-7 \end{cases} \end{equation*}\)
 
\(\begin{equation*} \begin{cases} 6x\le \:6 \\ 6x\ge \:-18\end{cases} \end{equation*}\)
 
\(\begin{equation*} \begin{cases} x\le \:1 \\ x\ge \:-3\end{cases} \end{equation*}\)
 
\(-3\le \:x\le \:1\)
 
Неравенства с модулем
Ответ\(\left[-3,\:1\right]\).

Пример 2.  Найдите значение \(\left|5x-9\right|<\:6\).
Решение :
\(\left|5x-9\right|<\:6\)
 
 
\(\begin{equation*} \begin{cases} 5x-9<6 \\ 5x-9>-6\end{cases} \end{equation*}\)
 
\(\begin{equation*} \begin{cases} 5x<15 \\ 5x>3\end{cases} \end{equation*}\)
 
\(\begin{equation*} \begin{cases} x<3\\ x>\frac{3}{5}\end{cases} \end{equation*}\)
 
\(\begin{equation*} \begin{cases} x<3\\ x>0,6\end{cases} \end{equation*}\)
 
\(0,6<x<3\)
 
Неравенства с модулем
Ответ\(\left(0,6;\:3\right)\).

 
Неравенство с модулем, где модуль больше или равно \(|x|\geq a \) решается по формуле и является совокупностью двух интервалов:
 
\(\left[ \begin{gathered} x \le \: -a \\ x \geq a \\ \end{gathered} \right.\)
 
Пример 3.  Найдите значение  \(\left|x-15\right|\ge \:\:3\).
Решение :
\(\left|x-15\right|\ge \:\:3\)
 
\(\left[ \begin{gathered} x-15\le \:-3\\ x-15\ge \:3 \\ \end{gathered} \right.\)
 
\(\left[ \begin{gathered} x\le \:12\\ x\ge \:18 \\ \end{gathered} \right.\)
 
Неравенства с модулем
Ответ\((-\infty \:,\:12]\cup \:[18,\:\infty \:)\).

Пример 4.  Найдите значение  \(4\left|x+10\right|\ge \:16\).
Решение :
\(4\left|x+10\right|\ge \:16\)
 
\(\left[ \begin{gathered} x+10\le \:-4\\ x+10\ge \:4\\ \end{gathered} \right.\)
 
\(\left[ \begin{gathered} x\le \:-14\\ x\ge \:-6\\ \end{gathered} \right.\)
 
Неравенства с модулем
Ответ\(\:(-\infty \:,\:-14]\cup \:[-6,\:\infty \:)\).
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
34
Образование:
Самаркандский государственный университет
Проведенных занятий:
547
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
23
Образование:
Орский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
645
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
20
Образование:
Рязанский государственный педагогический университет им. С.А. Есенина
Проведенных занятий:
31
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы